八卦中的数学常识（八卦记忆法）

1.1 引言

本文尝试利用简单的数学变换探究易经八卦的构成原理简介，目标是为记忆力如我一样有限的人更快地记住八卦的样子（易经的起源和历史此文不表）。关键字包括：二进制、码位倒置、循环移位。

1.2 易经八卦中的二进制

易经云：太极生两仪（阴、阳），两仪生四象（太阳、少阳、少阴、太阴），四象生八卦（乾、兑、离、艮、震、坎、巽、坤），见图1。

图1 太极图

由图1 可以知道，（如果不论太极是什么东西的话），八卦是典型的二进制形式，此处不再深表，为了便于本文（甚至理解整部易经），现用二进制数字表示八卦，分别是：乾（111）巽（110）离（101）艮（100）兑（011）坎（010）震（001）坤（000）。至于八卦分别有什么指向（象、数、理）本文不表。

另外，求反是二进制数变换中的一个基本操作，如：（1）求反得（0），（0）求反得（1）；

1.3 先天八卦中的码位倒置

先天八卦图，也称伏羲八卦图，参见图2。

图2 先天八卦图

在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述先天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解先天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做码位倒置。

所谓码位倒置指的是这样一种数学变换，给定一个数字（二进制形式），其码位倒置的结果就是将此二进制数从高à低位的顺序颠倒，比如：

1） 数字是0（二进制表示为000），其码位倒置的结果是0（二进制表示为000）。

2） 数字是1（二进制表示为001），其码位倒置的结果是4（二进制表示为100）。

3） 数字是2（二进制表示为010），其码位倒置的结果是2（二进制表示为010）。

4） 数字是3（二进制表示为011），其码位倒置的结果是6（二进制表示为110）。

5） 数字是4（二进制表示为100），其码位倒置的结果是1（二进制表示为001）。

6） 数字是5（二进制表示为101），其码位倒置的结果是5（二进制表示为101）。

7） 数字是6（二进制表示为110），其码位倒置的结果是3（二进制表示为011）。

8） 数字是7（二进制表示为111），其码位倒置的结果是7（二进制表示为111）。

码位倒置是数字采样相关场合（比如FFT变换）中常用的一种数学变换（注意：这种变换是可逆的）。

基于上述的变换思路，我们将所有的八卦均进行码位倒置，如下（为了便于比较，将卦名重新排序）：

图3说明了先天八卦的构图过程：

图3 先天八卦构图过程示意

1） 首先，需要记忆的是，坤（000）是在八卦的最低端；

2） 然后，从坤卦逆时针遍历1,2,3位，每位对位数进行码位倒置分别得到(100)、(010)、(110)，将相应的卦相应的位置；

3） 以此类推进行下一步，填入4,5,6,7位置的卦。

1.4 后天八卦中的循环移位

后天八卦图，也成文王八卦图，见图4。

图4 后天八卦图

在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述后天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解后天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做循环移位，为了适用后天八卦的构造过程描述，需要对传统的循环移位进行一点修正，为了将此改进的移位方式与传统的循环移位区别，这里将其命名为八卦移位。首先介绍一下循环移位，参见图5。

图5 循环移位（摘自网络）

循环移位分为循环左移及循环右移，根据是否带进位又分为带进位循环左移和循环右移。带进位的循环左移／右移指令只有移位的方向不同，它们都用原CF的值填补空出的位，移出的位再进入CF，此处不详细介绍这方面的知识点。在后天八卦的推演中，需要对循环移位进行一个修订，此处命名为八卦循环法则：

1） 循环左移时，如果原先的最高位为0，则在循环移位的结果的第一位置为1；如果原先的最高位为1，则在循环移位的结果的第一位置为0；

2） 循环右移时，，如果原先的最低位为0，则在循环移位的结果的最高位置为1；如果原先的最低位为1，则在循环移位的结果的最高位置为0；

在八卦中仅用到上述的第一条规则，即八卦循环左移。基于上述介绍，后天八卦的构造的顺序是（计算过程见图6）：

1） 乾在西南（这个是要记住的，其他卦位均可按下法推理）；

2） 以乾位为起点顺时针构造顺位卦序，口诀是：高位求反、低两位八卦左循环，求3次；

a)   乾卦（111）的高位是（1），低两位是（11），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（10），合并两结果是（010），是坎卦；见图中Step-1。

b)   坎卦（010）的高位是（0），低两位是（10），高位求反得（1）；低两位八卦左循环是（00），合并两结果是（100），是艮卦；见图中Step-2。

c)   艮卦（100）的高位是（1），低两位是（00），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（01），合并两结果是（001），是震卦；见图中Step-3。

3） 求上述四卦的对角线卦，口诀是：八卦左循环；

a)   乾卦（111）循环左移为（110），对角线卦即为巽卦；见图中Step-4。

b)   坎卦（010）循环左移为（101），对角线卦即为离卦；见图中Step-5。

c)   艮卦（100）循环左移为（000），对角线卦即为坤卦；见图中Step-6。

d)   震卦（001）循环左移为（011），对角线卦即为兑卦；见图中Step-7。

4） 全部构建完毕。

图6 后天八卦构造过程

1.5 结束语

本文介绍了三个数学工具，用于辅助记忆八卦的象。当然八卦背后影藏了很多自然、历史的文化的东西，本文仅尝试用数学的手段（还不是那么复杂的方式）挖掘八卦背后的数学规律。更多的内容容慢慢呈现和汇报。

阴阳八卦的数学结构模式

一、阴阳既是不能停止的无休争论

阴阳论与八卦内涵分析

阳者：明也；阴者：暗也。阴阳论之实质，乃明暗变化之辩也。

辩之意，旨在说明是非或争论真假：亦作分辨明暗逻辑变化之辩证之法。包括不同观点的争辩；立论观念的说明与答辩；与模糊观念的辩白；与对立观点的辩驳；对误解观念的辩护、辩解……。故阴阳论的核心则是通过明暗变化规律之辩论、辩证方法，不断澄清人类认识明暗变化的相关关系科学。

明者：亮、清楚、懂得、公开、睿智、视觉及能够看清的事物与物质……。

暗者：无光亮、模糊、糊涂、不公开、愚昧、无视觉及不能够看清的事物与物质……。

显而易见，用阴阳概念表达明暗变化，即具有物质自身属性明暗变化方面的内容，也包括人类感悟客观世界的明暗认识变化内容，同时揭示了人类科学技术理论发展进程中明暗变化的规律。一言以蔽之，阴阳概念不是一个简单的明暗之间的线性因果定义，而是一个哲学范畴概念；是一个包括客观世界的物质存在、人类对自然的感悟认识、不断发现真理更新知识的永恒变化过程。阴阳理论的核心就是运动、就是变：运动是永恒的；变化是永恒的。宇宙中不存在任何运动、变化的完全一致；更不存在时间、空间的绝对相同。任何无限运动、任何无限变化都具有自己属性特征的唯一；任何雷同的运动、任何雷同的变化都是有限范畴内的相似。

阴阳论，是当代线性因果哲学之外的一门哲学科学。是研究非线性、非周期性、无序、无限……等自然属性事件与事物的基础理论结构框架。是人类认识客观自然世界，打开知识之门的钥匙。

二、阴阳变化规律

习惯于用线性因果关系哲学分析问题的现代哲人们把‘阴阳论’视为伪科学。把阴阳论与一个说不清楚先有鸡还是先有蛋的哲学问题混淆成一谈。更有甚者，竟把阴阳论与迷信的阴间、阳间同等而语，视阴阳为迷信词汇，祖国医学中的八纲辨症理论，为了讳忌迷信之嫌，也删除了阴阳论证部分，而变成了虚实、里表、寒热六纲辩症了！所以，重申阴阳论哲理，让更多的人了解阴阳的科学性，写点浅译阴阳变化规律的科学文章，介绍赵致生有关自然方程与阴阳理论的基础论述，请大家争辩。

1、阴阳是什么？

阴阳是属性，不是具体物质名称。阴阳是范畴不是物理量、不是化学概念。阴阳不能用数字计算；不能用具体公式表达。只能依对立、矛盾的形式存在。与当代数量计算科学相比较，可以说是另类。

阴阳无量、无形。畴虚而范实，是可席卷万物矛盾属性概念于一身的最高基本概念。

阴阳无量生于有量；阴阳无形生于有形；阴阳之未知生于已知；阴阳之时间生于空间；阴阳之空间生于时间。

阴阳者虽无量，可囊括万物变化之终始；阴阳者虽无形，则能包罗宇宙运动之全息。

2、阴阳对立定律

阴阳对立的古哲学概念，旨在表达相对事物形成的对立关系。中国自古以来就有‘一阴一阳谓之道’之说。可见，阴阳是中华民族用古代朴素的唯物主义思想认识自然，研究自然获得的哲学概念、是中华民族数千年创新知识理论的指导法则。阴阳对立定律则是阴阳论的第一定律：

万事万物的存在与变化，都是在两个对立范畴的矛盾中永恒运动中产生的。任何事物的属性都是唯一的客观存在。任何事物的属性都有一个与其范畴对立的矛盾属性唯一存在。

3、阴阳互根定律

阴阳互根的古哲学概念，旨在表达相对事物形成的互根关系。即‘孤阴不生；独阳不长’、‘阴极生阳；阳极生阴’哲理。故得到阴阳论第二定律：

任何事物的属性都不能脱离其范畴对立的矛盾属性而独立存在。任何事物的属性都不能脱离其范畴对立的矛盾属性独立运动、单独变化、单向发展。任何事物的属性存在、运动、变化……都来源于范畴对立的矛盾属性激励。

4、阴阳消长定律

阴阳消长的古哲学概念，旨在表达相对事物形成的消长关系。即‘阴消阳长；阴长阳消’、‘阴衰阳亏；阳衰阴亏’哲理。故得到阴阳论第三定律：

任何事物的属性与其范畴对立的矛盾属性之间都存在相互制约、相互限制、相互影响的对应关系。任何事物的属性都能与其范畴对立的矛盾属性保持运动、变化、发展上的自然消长。

5、阴阳平衡定律

阴阳平衡的古哲学概念，旨在表达相对事物形成的平衡关系。即‘阴平阳秘；阴阳乃和’、‘阴阳平和，生克相济；往复平衡，周而复始’哲理。故得到阴阳论第四定律：

任何事物的属性稳定状态，都来自它与其范畴对立的矛盾属性之间的动态平衡。任何有规律的周而复始运动形式、任何有规律的线性周期变化，都是范畴对立的两个矛盾属性的动态平衡。

6、阴阳四大定律的客观条件与主观条件

阴阳四大定律的客观存在条件是‘范畴对立的矛盾属性’；主观条件是人类对‘范畴对立的矛盾属性’产生的认识。人类在不断认识‘范畴对立的矛盾属性’、不断发现新的‘范畴对立的矛盾属性’的同时，不断更新与创新‘范畴对立的矛盾属性’的理论。由于无限的‘范畴对立的矛盾属性’具有非线性、非周期性、无序的存在，人类知识的更新与科学进步也将永无止境。

7、阴阳‘范畴对立的矛盾属性’的科学性与数学理论模式

阴阳者，研究‘范畴对立的矛盾属性’科学的特定概念。是可席卷万物矛盾属性概念于一身的最高基本概念。可以演义一切矛盾、对立、相反属性的变化、运动规律。如中医学中的虚实、里表、寒热。其中寒热、温凉不但在中药学中用以表达药性，在四季学中也用来区分冬夏、春秋的气候属性。还有文章开头讲的涉及明暗变化的内容，物理学中的动静、快慢、正负、大小、强弱、高低、……。生活中的上下、前后、左右；方位的东西、南北……。总之，人类对大自然认识的起始就来自‘范畴对立的矛盾属性’。同样，人类知识积累与科学的发展也来源于人类对‘范畴对立的矛盾属性’的不断发现，不懈研究。阴阳就是研究‘范畴对立的矛盾属性’科学中的一个特定意义上的最高基本概念符号，在中国通用于哲学、数学、物理、天文……，诸多学科之间。已经延用了数千年，如今有人说此二字为迷信？与迷鬼、信神的迷信信仰混为一谈！说此二字是伪科学？把文字与其表达的内容具有科学性还是没有科学性混为一谈！字就是字，有它的原始概念与现代概念之区别。随着科学的发展，许多字义在不断的更新。阴阳也是如此，为什么不能注入新的科学理念，而非要把它封杀？

迷信产生于分辨不清，失去了辨别、判断的能力，本人在自然方程系列文章（一）中专门论述了‘中华民族古老哲学思想体系之源头是一个神秘的数学理论结构框架’观点，希望有兴趣的朋友们查阅。与辩论。

三、八卦内涵分析

八卦  亦称“经卦”。《周易》中的八种基本图形，用“一”和“--”符号称为爻，以“一”为阳，以“--”为阴。每卦由三爻组成；乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑、八卦，分别象征天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象。（具体符号见本文附件1八卦符号）。其二进制的数字概念对应为：7、0、4、3、2、5、1、6；顺时针排列的顺序是：7、3、2、1、0、4、5、6。太极八卦图中把3、2、1、0、与7、4、5、6分别绘制成阴阳两条鱼，表示八卦构成太极的阴阳两个部分。

如何分析认识太极八卦图的内涵，当代人不外乎有三种态度。一是神秘观点，认为太极八卦图的道理深不可测、智慧超人，崇拜之极，以古训为本，复辙而行。二是迷信观点，信者，图谶预测、卜卦算命；不信者，令行禁止、视伪假科学攻伐之。三是科学探索观点，不断用新科学、新理论更新这一古老的文化遗产。创建人类认识世界的新方法论、新认识论。

应该说前两种观点妨碍了人们去探讨、研究太极八卦的科学性。而可以实现后一种观点的人，又非通常知识水平之人可为。即使有所进展，也难在简单因果关系之线性哲学盛行的现代，得到公众支持与认可。阴阳理论需要科学研究的实质突破，更需要逐步实现传统概念上的更新。

1、八卦与笛卡三维坐标

众所周知，笛卡三维坐标是一个描述空间结构的数学系统。爱因斯坦预言在这个系统上再加入时间轴就可以成为四维空间的说法，本人认为有三点不妥之处：一是空间、时间、时空的定义不能混淆，三维空间加时间得到的应该是三维时空。二是空间维数增加，一定要依据空间内部维结构的机理与原则，不会超越空间的结构范畴。三是时间与空间同属于物质存在的形式，却具有物质运动范围与事务变化过程的相对性，是两个‘范畴对立的矛盾属性’。

如果说笛卡三维坐标是用数量科学描述空间结构的数学框架。那么，八卦则是用‘范畴对立的矛盾属性’描述时空结构的哲学框架。由阴阳的三维变化，形成乾坤、震巽、坎离、艮兑四组互为阴阳的矛盾属性结构，表示天地、雷风、水火、山泽自然现象。其二进制数字组合为（7、0）（4、3）（2、5）（1、6）。太极图把乾、兑、离、震汇集为阳，表示事物发展变化的泽（6）火（5）雷（4）过程；把坤、巽、离、艮汇集为阴，表示物质运动及存在形式的风（3）水（2）山（1）形式。

显而易见，太极图表示的自然内容，是古哲学定义的自然时空概念。阴表示空间；阳表示时间。八卦展示的时间与空间的相对辩证关系。

2、八卦需要重新认识

如何用现代科学技术的新成果来重新认识八卦？如何把中华民族古朴唯物辩证法形成的时空观开拓成现代科学技术发展的新理论？鉴于东西方文化在基础理论方面的巨大差异，不外乎三种方法。一是对中华民族古朴的时空哲学理论逐步定律化、数学公式化、专项科学理论化，走中医直接应用八卦时空观的模式，建立专业科学理论系统。二是依据现代数字空间、物理空间研究所取得的成就，重新认识古时空观，创建一个研究宇宙空间科学的现代时空模式。三是扬古时空观整体性、统一性、辩证唯物性、普遍性之长，避现代科学线性因果关系逻辑思维、至细、至微、至量、至分科定律化之短，通过人类第三次科学技术革命的大潮，更新基础知识理论，创建一个科学的新时空理论框架。

无论走哪种路，更新八卦的知识内涵，重新建立八卦的科学结构体系，已经刻不容缓。

3、八卦新释

八卦用阴阳爻建立了一个二进制三维变化的四对‘范畴对立的矛盾属性’结构框架，构成一个八卦哲学模式。古人命名：乾、兑、离、震为‘阳’卦；坤、巽、坎、艮为‘阴’卦。象征天、泽、火、雷；地、风、水、山八种自然现象。翻译成现代科技语言：乾坤象征天地间至亮物质与至暗物质的客观对立存在。巽、离、艮象征物理学中气态、液态、固态物质的存在；兑、离、震象征化学中腐蚀、燃烧、暴炸变化的过程。足以见证八卦哲学具有与科学技术发展俱进的科学性

八卦哲学表达的‘范畴对立的矛盾属性’关系有三个：变化与存在、时间与空间、已知与未知。

三个‘范畴对立的矛盾属性’把人类生活的主、客观世界划分成八个永恒运动变化的部分。即已知范畴内的时空存在与变化、未知范畴内的时空存在与变化。正如爱因斯坦所所说之理，人的知识就是以自己为圆心划一个圆圈，知道的东西越多，这个圆圈就越大，不知道的东西也就越多；知道的东西越少，这个圆圈就越小，不知道的东西也就越少；当你什么都不知道的时候，就没有什么不知道的了。

如果说阴阳是可席卷万物矛盾属性概念于一身的最高基本概念，那么，八卦就是演义属性最高基本概念构成的最高原理自然结构框架，这个框架可囊括主观、客观两个世界的矛盾属性规律，是我们认识自然的最基本方法。

八卦源于自然，古八卦理论应该说是人类认识自然的产物，所以，又可以称之谓‘自然八卦’。‘自然八卦’用现代科技概念重新注解之后，囊括现代物理科学中已知物质气、液、固三态与人类尚未认识的至亮物质、至暗物质的存在；包罗现代化学科学中腐蚀、燃烧、爆炸三种反应过程与人类尚未认识的至亮物质、至暗物质之间的反应过程。‘自然八卦’象征的内容随着人类对自然认识的进步，八卦象征的自然现象已经变化成现代科学的概念。所以后者，我们也可以称之谓现代科学八卦。

在自然八卦与现代科学八卦之间，中华民族在几千年的时间里，还利用八卦的原理，成功的探索了中医学，形成了阴阳、虚实、里表、寒热八纲为主体，结合五行理论形成的脏腑、经络、气血、病因、病机、方药……等独具一格的医学系统理论。

易经，是周文王写的一部研究变化方法、变化法则的书。用八卦作演义工具，视上卦为上层建筑、客观条件、社会层次；下卦为经济基础、主观条件、自身素质。把国家与社会划分成三十二对‘范畴对立的矛盾属性’群体。依据阴阳变化规律，分析研究他们之间的生、克、乘、侮变化；调解他们之间的对立、互根、消长、平衡关系。勤政而通治；民安而和谐，故得八百年周朝天下的平和。

时空八卦，也是大家熟悉的一种八卦存在形式。八卦表示我们生活空间中相对太阳的八个方位概念。方位的运动变化产生四季、十二个月、二十四节气的阳历历法。但是，月亮围绕地球公转一周的时间与地球围绕太阳公转一周的时间不是1：12的比例，又形成了十九年七闰的阴历历法。这里的数学计算关系会在以后的章节与文章作介绍，这里就不列举了。

还有古天文八卦，失传久远，已经找不到可以书写的内容与文献了，这里就不再介绍了。

总之，中国的文化发展与自然八卦是息息相关的，就连作文、考试、科举都要以八股文章为考核标准。可见八卦对中国文化影响之深。

4、八卦数学

八卦数学，就是二进制数学。它的最基本概念具有现代二进制数字数学‘0’、‘1’的数字、数量属性特征：表达客观世界的存在与不存在；表达主观世界的肯定与否定。只不过东方文化用“一”和“--”符号表示，称为爻；西方现代文化用‘0’、‘1’表示，称为数字。就是这小小的差异，却产生了东西方文化在三个概念上的本质区别：一是量与非量的区别；二是运动与静止的区别；三是属性最低概念与属性最高概念的区别。鉴于这三种区别的存在，东西方文化的科学发展过程，显然走着并不相同的两条路。可是在数学科学的发展来看，无论是哪种基础理论框架结构上的研究、发展，却出乎预料的得到彼此相同的结果：圆周率、勾股定理、方程、分数与比例计算、空间形体计算、时间的分割与计算、运动速度的计算、……。

二十世纪初，中国人民打倒了帝王统治，同时也打倒了帝王垄断封建文化，连同帝王垄断的中华民族历经数千年积累的文化瑰宝，也送进了历史博物馆。国家与民众视西方文化为现代科学，办学堂、建学制，把中国的科学技术发展，寄托在学习西方文化的教育上。中华人民共和国成立后，毛主席虽然有过对古文化地态度，认为应该古为今用，取其精华，去其糟粕。但文化领域中的斗争、革命不断，别说没有学校设置这门课程可学？读的机会都没有，何谈用呀！再说，西方科学立足具体事物的量研究，简明的定律、公式方便数量的计算、比较、分析。别说没有地方学习阴阳、八卦、五行之理论，就是有地方学了，谁愿意放弃套用公式计算后的满分成绩，而进行矛盾属性之范畴对立的笼统研究呢？最后，连中国人自己都不明白祖充之用什么方法那么精确的计算出来了圆周率？只剩下了‘四大发明’的骄傲。

八卦数学是研究运动、变化的数学。与现代数学不同的是：没有静止的数轴、坐标、量单位；没有变量函数、没有计算公式。只有矛盾属性的范畴对立存在形式。这种形式的数学表示式就是八卦。

八卦是永恒运动、变化的一个数学坐标系统。它表达的内容是客观、主观世界中的所有运动、变化着的矛盾属性集合。那么，一个运动、变化中的坐标系统，如何展示研究运动、变化中的所有矛盾属性集合呢？最高属性范畴的阴阳概念就是唯一的工具。不同矛盾属性的事物在运动、变化中形成的生、克、乘、侮五行循环关系就是研究问题的切入点。史书记载古八卦数学有三个主要研究成果：太乙、奇门遁甲、大六壬，还有许多小分支：紫微、梅花、易……等。只不过真正数学内容上的精髓已经失传久远了，只剩下了占卜、爻卦之法盛行于世。

5、奇门遁甲展示的阴阳数学模型

本人在素数问题的几十年研究中，找到了三种素数生成函数方法：一是奇门遁甲素数生成法；二是镜函数素数生成法；三是卦爻矩阵素数生成法。展示了素数生成规律与分布频率的变化规律。发现了素数与合数在自然数中具有独特的阴阳数学模型关系：相互对立依存、互根滋生的特殊存在形式；相互制约此消彼长、相互变化保持平衡的属性；素数与合数的这种变化是永恒运动，其八卦变化规律永无休止。这就是阴阳八卦产生的数学依据与模型。

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